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　　摘要：线性方程组作为线性代数的重要工具，贯穿于线性代数的始终，本文在介绍线性方程组解的结构理论知识后，根据行最简形矩阵的特点，给出求解线性方程组通解的几种快速易掌握的方法。
　　关键词：线性方程组 行最简形矩阵 通解
　　中图分类号：G642.41 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.23.149
　　线性方程组作为线性代数的起源，是刻画线性代数各种概念的一个重要工具，同时也是解决各类问题最基本最常见的一个工具，对于研究诸多线性关系、线性变换问题起着举足轻重的作用。对于线性方程组本身而言，需要对方程组的表示方式、解的判定、解的结构、解的求法、解的表示都有清晰透彻的理解和掌握，才能灵活运用到学科本身以及解决其它学科的各类问题。
　　在方程组有解时，解的情况只有两种情形：有唯一解或有无穷多个解。对于唯一解的情形，没有解的结构问题；对于无穷多解的情形，需要讨论解与解的关系问题，是否可将全部的解由有限多个解表示出来，即解的结构问题。根据向量空间的知识以及解的性质容易掌握解的结构理论，目前在教学中凸显的问题是，学生在求解具体的方程组时，难以快速准确地写出通解，即求解线性方程组的通解表示需要进一步清晰简单化。本文将根据线性方程组解的结构理论，利用行最简形矩阵的特点给出线性方程组（主要是非齐次线性方程组）通解的几种快速简单的求法。
　　1 基本知识[1]
　　1.1 线性方程组
　　由n元一次方程构成的方程组叫线性方程组。
　　 （1）
　　1.2 非齐次线性方程组
　　在（1）中，右端常数项不全为零，这种方程组叫非齐次线性方程组，记作Am×n=b（b≠0）。
　　1.3 齐次线性方程组
　　在（1）中，右端常数项全为零，这种方程组叫齐次线性方程组，记作Am×nX=0。
　　1.4 行最简形矩阵
　　矩阵中若有非零行，则非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为零。
　　1.5 齐次方程组Am×nX=0解的结构
　　在Am×nX=0中，若（A）=r
　　易知（A）=秩（Ab）=3 　　最简矩阵M对应的方程组为：
　　[x1-x3+x5+2x6=3
　　x2+2x3-3x5-2x6=-1
　　x4+x5+4x6=2] [x1-x3+x5+2x6=0
　　x2+2x3-3x5-2x6=0
　　x4+x5+4x6=0] [（2），相应齐次方程为：]
　　令x3=1，x5=0，x6=0，代入（3）得x1=1，x2=-2，x4=0，
　　X1=（1，-2，1，0，0，0）T；
　　令x3=0，x5=1，x6=0，代入（3）得x1=-1，x2=3，x4=-1，
　　X2=（-1，3，0，-1，1，0）T；
　　令x3=0，x5=0，x6=1，代入（3）得x1=-2，x2=2，x4=-4，
　　X3=（-2，2，0，-4，0，1）T；
　　令x3=0，x5=0，x6=0，代入（2）得x1=3，x2=-1，x4=2，
　　X0=（3，-1，0，2，0，0）T；
　　通解为X=X0+k1X1+k2X2+k3X3，k1R，i=1，2，3
　　3.2 拆分法（2.2）
　　最简形矩阵M对应的方程组写成如下形式：
　　[x1=3+x3-x5-2x6
　　x2=-1-2x3+3x5+2x6
　　x4=2-x5-4x6] （4）
　　令x3=k1，x5=k2，x6=k3，k1R，i=1，2，3，代入（4）得：
　　
　　4 结语
　　如何用方程组反映代数的本质，并能够解决实际应用问题是线代代数教学的核心，而求解一般方程组，写出其解的结构又是线性代数教学的首要任务。以上三种方法在本质上是一致的，如果对向量组的关系、向量空间、解的结构有充分理解，可视为一种方法。方法一从向量空间的角度给出了通解的结构及求法；方法二能从通俗易懂的角度写出通解又展示其结构；方法三能快速准确的写出通解及其结构。在教学以及实际应用当中，根据不同接受程度的学习对象，适当的采取不同的求解方法能达到较好的教学效果。
　　参考文献：
　　[1]游宏.线性代数[M].高等教育出版社，2013.
　　作者简介：王发兴（1981-），男，汉族，甘肃武威人，讲师，研究方向为泛函分析、偏微分方程、数学教育学，南京邮电大学通达学院，江苏南京 210003
　　郑莹，南京邮电大学理学院，江苏南京 210046

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