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投资组合的预期收益率

投资组合的预期收益率是投资组合中各个单项投资的预期收益率的加权平均。权重是每项投资占总投资的价值百分比。

我们假设采取一个投资组合，我们用总投资额的60%购买招商银行股票，用总投资额的40%购买宝钢股份的股票。

投资组合的方差(标准差)

我们己经知道如何计算方差、协方差和相关系数这些统计概念。在此基础上，我们分析投资组合的方差和标准差。

相关系数为+1意味着完全正相关，相关系数为一1则意味着两种资产的收益率的变动方向完全相反。相关系数为0说明两种资产的收益率之间没有线性关系，即它们在统计上不相关。我们前面计算出，招商银行的收益率与沪深300指数的收益率之间的相关系数是Pij =0.69是显著的，而且数值比较高，说明招商银行和沪探300这两种资产之间具有很强的正相关性。我们再来看两支个股之间的关系，例如招商银行和宝钢股份。通过计算，可以得到它们的收益率之间的相关系数Pij =0.506，它们之间仍然有比较大的正相关关系，不过相关性小于招商银行与沪深300指数之间的相关性。

我们来考虑计算投资组合收益率的标准差，这是我们对投资组合风险的度量。前面提过，Markowitz己推导出投资组合标准差的计算公式。

我们在前面指出投资组合的预期收益率的计算方法是将投资组合中各个单项资产的预期收益进行加权平均；而权重是占投资组合的价值百分比。

有人可能会想到相同的方法计算投资组合的标准差，即计算单项资产的标准差的加权平均值。但这种方法是错误的，因为这种方法没有考虑到各种资产之间的交互影响。

这个公式表明投资组合的标准差是单项资产方差的加权平均(权重也平方)与所有资产协方差的加权平均之和的函数。投资组合的标准差不仅包括单项资产的方差，也包括所有投资组合内任意两个资产的协方差。

接下来，我们以一个虚拟的投资组合(由资产i和j组成)为例演示如何度量投资组合的风险。我们在这里假设每项资产的预期收益率和标准差在一定范围内变动。我们给出相对简单的计算以及两种资产的图表，以说明不同的协方差对投资组合总风险(标准差)的影响。

投资组合标准差的计算。

已知Markowitz投资组合模型中的假设，投资组合中任何资产都可以用两个特征描述:收益预期和标准差。因此，下面的例子中，可以将上面提及的收益—标准差特征和相关系数应用于不同特征情况的投资组合。

① 风险和收益率相同，相关性的变化对资产组合的影响。考虑第一种情况，两种资产的预期收益和预期收益的标准差相等。

完全负相关时，两种资产在长期内的平均值等于每种资产的收益平均值，所以投资组合的收益没有波动性。资产的任何高于或低于平均值的收益都被另一项资产的收益完全抵消了，所以总收益没有波动性—就是说投资组合没有风险。这种包含两种完全负相关资产的投资组合使多样化的好处达到最大:在获得绝对正收益的情况下，完全消除了投资风险。

② 不同收益和风险的资产组合。我们已经考虑了资产在只有相关系数不同时的情况。我们现在研究两项资产(或投资组合)具有不同预期收益率和标准差的情况。我们仍将观察相关性变化时的情况。

③ 两种资产的相关性不变，但权重变化。假设两种资产的相关系数为。

假设正常的风险一收益关系是高风险产生高收益，那么如果资产之间相关程度低的话，保守的投资者可以通过对高风险、高收益的资产进行多样化投资，从而获得低风险一高收益的回报。从上图可以看出，风险一收益曲线的形状与投资组合中两项资产的相关性有关。相关系数为时，风险一收益曲线是在两种资产之间的一条直线。当相关系数小于1时，曲线就会向左弯曲，这时，我们就可以找到严格好于情况(a)的资产组合以得到较低风险一较高收益的投资回报。也就是说，即使两种资产不是零相关或负相关，只要它们的相关系数小于1，我们都可以从分散投资中受益。

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